Xét sự khác biệt về giá trị của hai giới hạn:

lim a → 0 + ( ∫ − 1 − a d x x + ∫ a 1 d x x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,} lim a → 0 + ( ∫ − 1 − 2 a d x x + ∫ a 1 d x x ) = ln ⁡ 2. {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}

Giới hạn đầu là giá trị chủ yếu Cauchy của biểu thức được xác định xấu theo cách khác

∫ − 1 1 d x x   ( which   gives   − ∞ + ∞ ) . {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}

Tương tự ta có

lim a → ∞ ∫ − a a 2 x d x x 2 + 1 = 0 , {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}

nhưng

lim a → ∞ ∫ − 2 a a 2 x d x x 2 + 1 = − ln ⁡ 4. {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}

Giới hạn thứ nhất là giá trị chủ yếu của biểu thức được xác định xấu theo cách khác

∫ − ∞ ∞ 2 x d x x 2 + 1   ( which   gives   − ∞ + ∞ ) . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}